O Universo que nos rodeia tem estruturas muito diferentes a diferentes escalas. Desde as escalas mais pequenas (a escala subatômica do eléctron, ou menor ainda) até às maiores escalas (as escalas astronômicas dos enxames de galáxias), o Universo é descrito em LINGUAGEM MATEMÁTICA.
Muitas das ideias mais profundas da Matemática moderna são indispensáveis para a descrição do Universo. Por exemplo, no decorrer do Século XX, alguns físicos, que queriam descrever as interações entre as partículas elementares, e alguns geômetras motivados por problemas completamente diferentes, descobriram independentemente os mesmos conceitos e as mesmas fórmulas!
E frequente encontrarem-se alguns dos maiores teoremas da geometria moderna desempenhando papéis importantes na física microscópica!
O que é um grupo ?
Um dos conceitos mais importantes da álgebra é o de GRUPO.
O grupo de simetrias do triângulo é o conjunto formado pelas 6
operações que podemos efetuar sobre o triângulo transformando-o nele próprio: 3 rotações por 0° , 120° ou 240° e 3 reflexões
relativas às diagonais do triângulo.
Se compusermos duas destas operações obtemos uma terceira
operação do conjunto; a composição é associativa
O¹(O²O³)=(O¹O²)O³;
existe uma operação “identidade” (não fazer nada) e cada uma
destas operações pode ser invertida. Um grupo é um conjunto
de operações com estas propriedades.
Este grupo NÃO É COMUTATIVO! Por exemplo, rodar o triângulo
120° fazendo uma reflexão de seguida, não deixa os vértices do
triângulo na mesma posição do que fazer primeiro a reflexão e
depois a rotação.
O estudo das propriedades dos grupos é muito importante em
Matemática! A estrutura da matéria está organizada em termos
de propriedades de alguns grupos! Por exemplo, a Natureza seria
muito diferente se todos os grupos fossem comutativos!!!
Os elétrons sabem teoria de grupos ?
O próton e o nêutron, constituintes dos núcleos atômicos e responsáveis por grande parte da nossa massa, são formados por
partículas mais pequenas, chamadas quarks. Concentremo-nos
em 3 tipos de quarks: u, d, s. Existe um grupo de simetria (aproximada) das forças nucleares que consiste em “rodar” estes 3
tipos de quarks entre si. As operações do grupo transformam
as partículas alterando a sua composição em termos de quarks
u, d, s. Por exemplo o próton p = (uud) pode ser transformado
num nêutron n = (udd). Até à década de 1960, as partículas
compostas por quarks eram difíceis de “catalogar”. Conheciam-se as suas massas, cargas e outras propriedades físicas, mas não
parecia haver nenhum critério que explicasse esses parâmetros.
Até que os físicos foram espreitar as prateleiras da biblioteca de
matemática onde se guardam os livros de teoria de grupos...
...e descobriram que as partículas elementares sabem teoria de
grupos!!! Recorrendo ao conceito de representação, fundamental na estrutura matemática dos grupos, os físicos descobriram
que as partículas se arrumam segundo diagramas que se podem
encontrar nos livros de teoria de grupos!!!
Na verdade, esta estrutura matemática é tão poderosa que permitiu prever a existência de algumas destas partículas antes da
sua descoberta no laboratório! Sim! As partículas elementares
sabem teoria de grupos!
E as grandes escalas ?
Como vimos, a álgebra e a geometria são fundamentais na descrição do Universo às mais pequenas escalas. E nas grandes
escalas ? Qual é a forma do Universo?
... Ninguém sabe, e ninguém sabe se a porção de Universo que
conseguimos observar com os mais potentes telescópios á apenas
uma pequena parte do Universo... Será que o nosso Universo é limitado?
...
A Topologia, a disciplina matemática que estuda a “forma” dos
espaços, sugere-nos algumas hipóteses divertidas...
Se o espaço que habitamos tivesse apenas duas dimensões talvez
o nosso Universo fosse como a superfície de um donut:
Um raio de luz emitido de um ponto na superfície do donut acaba
por dar um número infinito de voltas passando perto do lugar de
onde partiu...
Será que vivemos no interior de um donut tri-dimensional de
proporções gigantescas ?!
A Matemática em todas as coisas
As questões por responder são cada vez mais e é isso que torna
interessante buscar as respostas. E as respostas contêm quase
sempre MATEMÁTICA, quer estejamos a estudar o átomo, a
galáxia, a atmosfera, a sustentabilidade dos ecossistemas, a propagação de doenças, as cotações da bolsa ou as redes de celulares. Não saber Matemática é como ser analfabeto perante
a biblioteca mais rica do mundo!
(João Pimentel Nunes)
Referência:
https://www.math.tecnico.ulisboa.pt/~lgodin/EVMEC2013/JoaoPimentel.pdf
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