Origami Pirâmide do Egito

A MATEMÁTICA E O UNIVERSO

O Universo que nos rodeia tem estruturas muito diferentes a diferentes escalas. Desde as escalas mais pequenas (a escala subatômica do eléctron, ou menor ainda) até às maiores escalas (as escalas astronômicas dos enxames de galáxias), o Universo é descrito em LINGUAGEM MATEMÁTICA.

Muitas das ideias mais profundas da Matemática moderna são indispensáveis para a descrição do Universo. Por exemplo, no decorrer do Século XX, alguns físicos, que queriam descrever as interações entre as partículas elementares, e alguns geômetras motivados por problemas completamente diferentes, descobriram independentemente os mesmos conceitos e as mesmas fórmulas!

E frequente encontrarem-se alguns dos maiores teoremas da geometria moderna desempenhando papéis importantes na física microscópica!

O que é um grupo ?

Um dos conceitos mais importantes da álgebra é o de GRUPO.

O grupo de simetrias do triângulo é o conjunto formado pelas 6 operações que podemos efetuar sobre o triângulo transformando-o nele próprio: 3 rotações por 0° , 120° ou 240° e 3 reflexões relativas às diagonais do triângulo.

Se compusermos duas destas operações obtemos uma terceira operação do conjunto; a composição é associativa

O¹(O²O³)=(O¹O²)O³;

existe uma operação “identidade” (não fazer nada) e cada uma destas operações pode ser invertida. Um grupo é um conjunto de operações com estas propriedades.

Este grupo NÃO É COMUTATIVO! Por exemplo, rodar o triângulo 120° fazendo uma reflexão de seguida, não deixa os vértices do triângulo na mesma posição do que fazer primeiro a reflexão e depois a rotação.

O estudo das propriedades dos grupos é muito importante em Matemática! A estrutura da matéria está organizada em termos de propriedades de alguns grupos! Por exemplo, a Natureza seria muito diferente se todos os grupos fossem comutativos!!!

Os elétrons sabem teoria de grupos ?

O próton e o nêutron, constituintes dos núcleos atômicos e responsáveis por grande parte da nossa massa, são formados por partículas mais pequenas, chamadas quarks. Concentremo-nos em 3 tipos de quarks: u, d, s. Existe um grupo de simetria (aproximada) das forças nucleares que consiste em “rodar” estes 3 tipos de quarks entre si. As operações do grupo transformam as partículas alterando a sua composição em termos de quarks u, d, s. Por exemplo o próton p = (uud) pode ser transformado num nêutron n = (udd). Até à década de 1960, as partículas compostas por quarks eram difíceis de “catalogar”. Conheciam-se as suas massas, cargas e outras propriedades físicas, mas não parecia haver nenhum critério que explicasse esses parâmetros. Até que os físicos foram espreitar as prateleiras da biblioteca de matemática onde se guardam os livros de teoria de grupos...

...e descobriram que as partículas elementares sabem teoria de grupos!!! Recorrendo ao conceito de representação, fundamental na estrutura matemática dos grupos, os físicos descobriram que as partículas se arrumam segundo diagramas que se podem encontrar nos livros de teoria de grupos!!!

Na verdade, esta estrutura matemática é tão poderosa que permitiu prever a existência de algumas destas partículas antes da sua descoberta no laboratório! Sim! As partículas elementares sabem teoria de grupos!

E as grandes escalas ?

Como vimos, a álgebra e a geometria são fundamentais na descrição do Universo às mais pequenas escalas. E nas grandes escalas ? Qual é a forma do Universo?

 ... Ninguém sabe, e ninguém sabe se a porção de Universo que conseguimos observar com os mais potentes telescópios á apenas uma pequena parte do Universo... Será que o nosso Universo é limitado?

... A Topologia, a disciplina matemática que estuda a “forma” dos espaços, sugere-nos algumas hipóteses divertidas...

Se o espaço que habitamos tivesse apenas duas dimensões talvez o nosso Universo fosse como a superfície de um donut:

Um raio de luz emitido de um ponto na superfície do donut acaba por dar um número infinito de voltas passando perto do lugar de onde partiu... 

Será que vivemos no interior de um donut tri-dimensional de proporções gigantescas ?!

A Matemática em todas as coisas

As questões por responder são cada vez mais e é isso que torna interessante buscar as respostas. E as respostas contêm quase sempre MATEMÁTICA, quer estejamos a estudar o átomo, a galáxia, a atmosfera, a sustentabilidade dos ecossistemas, a propagação de doenças, as cotações da bolsa ou as redes de celulares. Não saber Matemática é como ser analfabeto perante a biblioteca mais rica do mundo!

(João Pimentel Nunes)

Referência:

https://www.math.tecnico.ulisboa.pt/~lgodin/EVMEC2013/JoaoPimentel.pdf

O universo é feito de matemática? Adaptado de https://meiobit.com/arquivo/276507/jornada-para-descobrir-os-limites-do-universo-matematico/

 

O professor do MIT Max Tegmark em seu livro, Our Mathematical Universe: My Quest for the Ultimate Nature of Reality, explora a possibilidade da matemática não apenas descrever o universo, mas de que ele seja formado por ela.

Tendo dificuldade para entender o universo? Tente isso: imagine 10⁵⁰⁰ universos possíveis, todos diferentes e considere o nosso lugar dentro desse conjunto, não escolhido aleatoriamente pois a nossa localização deve satisfazer algumas condições básicas tais como a habitabilidade para espécies inteligentes capazes de perguntar sobre o seu lugar no cosmos.

Parece complicado? Bom, é o que o Professor de Cosmologia e Física do MIT, Max Tegmark, aborda em seu trabalho, intitulado Our Mathematical Universe: My Quest for the Ultimate Nature of Reality, algo como “Nosso Universo Matemático: Minha Jornada para descobrir os limites da realidade” 

Alguns anos atrás, a ideia de múltiplos universos foi visto como uma ideia maluca, nem mesmo à margem da respeitabilidade. Tegmark relata no prefácio que não estava muito animado em dedicar sua atenção acadêmica para isso. Só que agora, graças em grande parte à Tegmark e sua busca de idéias controversas, o conceito de universos múltiplos (ou um multiverso) é considerado provável por muitos especialistas na área.

Our Mathematical Universe é um híbrido de livro de memórias e teoria matemática pura. Tegmark explica com entusiasmo carismático, algo que poderemos encontrar em poucas obras como as de Brian Greene e Stephen Hawking, porque é importante que exista uma versão da realidade feita inteiramente de matemática. Ou melhor, um universo que não é descrito por matemática, mas composta por ela. A ideia de que o universo é composto inteiramente de matemática é enganosamente simples. Parece bastante intuitivo no início, mas uma vez que você passa algum tempo refletindo sua mente começa a se sentir como se estivesse sendo dobrada. Ainda assim a prosa clara sem ser demasiadamente didática de Tegmark pode levá-lo por caminhos interessantes e inesperados de pensamento, sem fazer você se sentir perdido.

Se tudo for de fato matemática então tudo pode ser descoberto com um lápis. Mesmo a própria consciência é uma estrutura matemática. Os mais agitadinhos talvez pensem que isso nos faria quase robôs, mas avance um pouco mais  por essa linha e um leque selvagem de possibilidades se abre: tudo pode ser computado e deduzido, não existe beco sem saída para o pensamento. Se fôssemos realmente começar a perceber essas coisas, nós poderíamos entender por exemplo o estado mental dos pacientes em aparente estado vegetativo. Ou atribuir um número real de quanto um animal criado em cativeiro para alimentação sofre. As possibilidades são infinitas, coisas que sempre pareceram imensuráveis se tornariam cálculos.

Como Tegmark é rápido em apontar, esta não é uma ideia totalmente nova. Galileu disse que o nosso universo é um livro escrito na linguagem da matemática. Mas em Our Mathematical Universe, encontramos um físico revolucionário que dobra o inferno para descobrir se essa teoria é verdadeira, como prová-la, usá-la e o que isso significa para o mundo como nós o conhecemos.

Referência:

https://meiobit.com/arquivo/276507/jornada-para-descobrir-os-limites-do-universo-matematico/

Potenciação

 

Atividades - Números Inteiros

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Atividades - Números positivos e números negativos 

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Números Inteiros positivos e negativos

A IDEIA DE NÚMEROS INTEIROS

Objetivos: Compreender os números inteiros como uma ampliação dos 

números naturais.

Baixem o arquivo para estudar e façam as atividades propostas.

Conjunto dos Números Inteiros

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Conjunto dos Números Inteiros 

Os números +1, +2, +3, +4, …, +10, …, +25, …, +100, … são chamados números inteiros positivos.

Os números -1, -2, -3, -4, -5, …, -25, …, -100, … são chamados números inteiros negativos.

 

O conjunto formado pelos inteiros positivos, pelos inteiros negativos e pelo zero é chamado conjunto dos números inteiros e é representado pela letra Z.

Z = {…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, +5, ...}

RETA NUMÉRICA → Utilizada para a localização dos números, por exemplo, a fita métrica e a trena lembram uma reta numérica.

 

Para continuar baixem o arquivo em PDF, lá vocês encontrarão atividades para serem feitas.